Матрицы. Определители и их свойства. Часть 1

Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий.

Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.

Матрицы широко используются для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, шифрования сообщений в Интернете и т. д.

Таким образом, матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, например A, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:

Формула матрицы

Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется m×n матрицей или матрицей размера m×n.

Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо (см. рис.1):

Рис.1.

Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде a_>i j, а выражение A = || a_>i j || означает, что матрица A составлена из элементов a_>i j. (см. рис.2):

Рис.2.

Матрица (см. рис.2.) размера 1×n называется матрицей-строкой или вектором-строкой.

Рис.3.

Матрица (см. рис.3.) размера n×1 называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.

Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.

Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера n×n. Такие матрицы называются квадратными (см. рис.4).

Рис.4.

При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3x3 (см. рис.5)

Рис.5.

Рис.6.

Рис.7.

Рис.8.

Единичную матрицу обозначают буквой E или I.

Рис.9.

Рис.10.

Матрицы A = || a_>i j || и B = || a_>i j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

для любых допустимых значений индексов i и j.

Умножать на число можно матрицу любого размера. При умножении матрицы A на число λ каждый ее матричный элемент умножается на это число:

для любых допустимых значений индексов i и j.

В результате получим матрицу 3A.

Вынесение общего можителя за знак матрицы.

Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || a_>i j || и B = || b_>i j || является матрица C = || c_>i j ||, элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

Формула операции сложения.

Результат сложения двух матриц.

Складывать (и вычитать) можно матрицы только одного размера!

Результат сложения двух матриц с учетом правила A +0 = A.

Формула вычитания двух матриц.

Пусть А = – матрица-строка размера 1×n, и пусть В – матрица-столбец размера n×1. (Иначе говоря, пусть число элементов в строке матрицы A совпадает с числом элементов в столбце матрицы B.)

Тогда произведением AB называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих матричных элементов:

Формула является правилом умножения строки на столбец.

Если матрица A содержит m строк, а матрица B – n столбцов, то произведение AB представляет собой m×n матрицу, i,j-ый элемент которой вычисляется по правилу умножения i-ой строки матрицы A