По математике составлено огромное количество книг и учебников на любой вкус. И мне бы не пришло в голову написать еще один такой же учебник, как две капли воды похожий на все остальные. Поэтому я сделал все иначе.
Во-первых, этот курс сфокусирован не на математике, а на нематематике. Это означает, что в нем самыми важными будут приложения математики к реальному миру и новые возможности, которые открываются любому непосвященному человеку, но заинтересованному увидеть что-то новое, необычное и полезное.
Во-вторых, в этой книжке вообще нет ни одной формулы. Это не означает, что математические формулы являются лишними или они не нужны вовсе. Просто я хотел показать, что для того, чтобы содержательно что-то обсудить, можно на некоторое время обойтись и без них. Тем любопытнее будет посмотреть, что изменилось бы с появлением формул, этих странных букв и непонятных значков.
В-третьих, каждая глава завершается конкретным заданием, относящимся к практической жизни и, возможно даже, к будущей профессии. После выполнения такого задания не должно оставаться вопроса, зачем нужно изучать ту или иную тему. Тем самым, курс имеет практическую направленность, в отличие от большинства курсов по математике, примеры и задачи в которых обычно рассматриваются как абстрактная гимнастика для ума.
И, наконец, в-четвертых. Все части этой книжки написаны очень кратко. Я полагал, что прочитать две страницы текста будет не так сложно. Но понять, что там написано будет практически невозможно без преподавателя. Эту книжку практически невозможно использовать как замену реальным занятиям в аудитории. С объяснением, обсуждением, ошибками, спорами и всем прочим, что характерно для живого общения. Тем, кто его избегает, эта книжка и этот курс будут абсолютно недоступны. Про математику и особенно нематематику нужно разговаривать.
Итак, начнем…
Август 2022 г.
НЕМАТЕМАТИКА
В этой главе обсуждается несколько определений математики. Если их несколько, это значит что одно определение выбрать невозможно. Далее приведены самые общие сведения о различных разделах математики, использовании математических моделей для анализа реального мира. В завершение главы порассуждаем о том, почему этот курс называется нематематикой.
1.1. Что такое математика
Рене Декарт: к области математики относятся тольĸо те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера. Фридрих Энгельс: математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Николя Бурбаки: Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, – именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм – математических структур. Герман Вейль: вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается отĸрытым… «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярĸим и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.
Разделы математики в самом обобщенном виде можно представить следующим образом. Количество: Число – Арифметика – Алгебра. Преобразования: Арифметика – Анализ – Дифференциальные уравнения – Динамические системы – Теория хаоса. Структуры: Теория множеств – Линейная алгебра – Топология. Пространственные отношения: Геометрия – Тригонометрия – Дифференциальная геометрия – Топология – Теория меры – Фракталы. Дискретная математика: Математическая логика – Комбинаторика – Теория графов – Теория алгоритмов – Информатика. Международный классификатор предметов математики: Mathematics Subject Classification (MSC2020).
1.3. Математические модели
Математический объект – это абстрактный объект, определяемый и изучаемый в математике. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных объектов или на основе других математических объектов. Например: множество, число, функция, шар, пространство. Моделью можно назвать абстрактное представление реальности. Математика имеет дело с моделями, которые часто используются для анализа процессов, событий и явлений окружающего мира. Но для математиков они всего лишь математические объекты.
В этом курсе математические понятия и объекты – не самоцель. Математики выходят в окружающий мир, чтобы найти себе задачку. После того, как они ее находят, они возвращаются в свой абстрактный мир, решают ее и остаются довольны. То есть, в отличие от обычных людей математике обычно не возвращаются со своим решением, чтобы изменить мир. Им математическое решение или доказательство теоремы важно само по себе. Математика (и математическая статистика) это во многом вещь в себе. А продюсер – это человек из окружающего мира. Для него математика и математики это ресурс и инструмент для чего-то большего, для решения проблем и изменения мира. Поэтому этот курс не про математику, а про нематематику. Он про реальный мир и про то, как в нем можно использовать полезные модели и инструменты. Нам часто приходится иметь дело с объектами нечисловой природы. И научиться измерять характеристики и свойства таких объектов, которые, к сожалению или к счастью, не выражаются числами. Практические занятия помогут нам в этом разобраться и мы поймем, как с этим быть.
