В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Исходя из предположения де Бройля, важно констатировать, что каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения веществом. Действительно, полную энергию E>p` и импульс P`` фермиона (или бозона) возможно выразить через круговую частоту ν, длину волны λ и постоянную Планка h, тогда:
где k’=2π/λ; ħ=h/ (2π) – приведённая постоянная Планка.
Итак, сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Величина E>p` представляет собой сумму кинетической E>k и потенциальной U>p (x,y,z) энергии, следовательно:
Вместе с тем
здесь M – масса элементарной частицы; T``` – период волны Де Бройля.
Длину волны Де Бройля λ удобно выразить через скорость υ (υ=const), тогда:
Вывод уравнения Шрёдингера по идее надо производить в трёхмерном пространстве C>3, но для упрощения расчётов будем использовать одномерную систему координат. Переходя от действительных чисел к комплексным λ-> -2πiλ и ν-> -ν/ (2πi) (знаки перед аргументами -2πiλ и -ν/ (2πi) выбраны отрицательными именно потому, что в противном случае соотношение (h/ (2πλ))> 2/2M-U>p (x) -i (hν/ (2π)) ≠C>ncos (ω`t) +isin (ω`t)) просто-напросто потеряет смысл, когда ω`> 0, ν> =0, λ> =0, t> =0, U>p (x) =const и C>n≠0), перепишем составленный для волны Де Бройля закон сохранения энергии в следующем виде:
Кроме того
где t – время, а x – координата.
Ссылаясь на математические преобразования, разобранные выше, найдём тождество:
.В итоге нам потребуется внести новую величину под знаки производных, которую в подавляющем большинстве случаев обозначают как ψ или как ψ>p, тогда:
Выражение (2*) называется уравнением Шрёдингера. Опираясь на полученную формулу, возможно вычислить оператор импульса P``, следовательно: